[칠교] [사고력 수학](3) 넓이의 이해

[사고력 수학](3) 넓이의 이해

입력: 2007년 09월 04일 09:38:08

－도형을 쪼개고 붙여 넓이의 합을 구하라－ 도형 영역에 있어서 넓이는 저학년에서 배운 도형의 단순한 개념을 넘어서 실질적인 기하학의 시작이라고도 할 수 있다. 사실 초등학교에서 나오는 넓이쯤이야 공식 몇개만 외우면 다 된다고 생각하는 사람이 많다. 그러나 넓이를 단순히 공식으로만 생각하면 초등학교에서 넓이를 아무리 잘 구했던 학생들이라도 중학교 도형 영역에서는 쩔쩔매는 경우가 허다하다. 더구나 요즘은 서술형 문제가 50% 출제되는 곳도 많아서 정확한 증명과정도 필요하다. 중학교 8-나에 있는 비교적 까다로운 문제를 하나 살펴보자. 오른쪽 그림과 같이 정사각형 ABCD의 변 BC, CD 위에 각각 점 P, Q를 정할 때, ∠PAQ=45˚, ∠APQ=55˚이다. ∠AQD의 크기를 구하여라. 이 문제를 풀 때 어떤 순서로 푸는지 생각해 보자. 첫째, 일단 도형을 관찰하여 주어진 조건을 잘 살펴본다. 삼각형에서 두 각의 크기가 주어졌다, 정사각형이므로 네 변의 길이가 같고 네 각의 크기는 모두 90도이다. 둘째, 내가 알고 있는 정리들 가운데 이용할 수 있는 모든 것을 생각해 본다. 예를 들면 삼각형의 내각의 합은 180도, 평행선을 그었을 때 동위각과 엇각의 크기가 같다, 합동인 도형은 대응하는 변의 길이가 같고 대응하는 각의 크기가 같다. 셋째, 주어진 도형의 내부나 외부에 적당한 보조선을 그어 합동이나 닮음, 평행선의 성질을 이용할 수 있는지 생각해 본다. 이 보조선이 문제다. 도대체 어디에 어떻게 선을 그어야 실마리를 찾을 수 있는지 막막하기만 하다. 그런데 보조선을 긋는 다는 것은 바로 도형을 적당히 쪼개거나 붙이는 것과 같다. 초등학교 때 도형을 감각적으로 많이 다뤄 본 아이들은 도형을 자유자재로 쪼개고, 쪼갠 도형을 이리저리 맞출 줄 안다. 따라서 도형을 변형할 때도 그렇게 덜덜 떨지 않는다. 이 문제에서 알 수 있듯이 도형 영역의 경우 초등학교에서는 그냥 공식만 외워도 되지만 중학교에 가면 공식을 적용하기 전에 도형을 이리저리 변형할 수 있어야 한다. 따라서 여기서 강조하고 싶은 것은 초등학교에서 도형을 배울 때는 공식으로 외울 것만 아니라 감각으로 경험하고 원리로 이해해야 한다는 것이다. 그렇다면 어떻게 해야 할까, 도형을 감각적으로 이해하고 변의 길이나 각, 넓이 등을 자유자재로 구할 수 있으려면 도형을 쪼개거나 붙이는 데 익숙해져야 한다. 즉 도형을 가지고 그러한 활동을 해 봐야 한다. 사고력 수학에서 하는 다음과 같은 활동의 경우를 보자. (활동 1) 다음 도형들의 넓이를 구하시오. ▲ 기준 넓이 이 활동은 단위 넓이를 주고 그것을 이용하여 여러가지 도형의 넓이를 어림하여 보는 것이다. 단순하지 않은 도형의 넓이를 어림하려면 도형을 적당히 쪼개어 단순한 도형이 되도록 변형시켜 보아야 한다. 즉 다음과 같은 감각적인 활동과 사고의 과정이 요구된다. 위와 같이 간단한 문제를 해결하면 이번에는 복잡한 도형도 마음대로 넓이를 구할 수 있다. 또한 이와 같은 문제를 해결해 낸 아이들의 만족감도 대단하다. 이렇게 넓이를 공식으로 구하는 것이 아니라 단위 넓이를 주고 도형을 변형하여 단위 넓이의 개수로 넓이를 구하는 것이 바로 가장 정확한 수학적인 넓이의 개념이다. 비록 우리는 거의 그러한 방식으로 제대로 넓이 개념을 배운 적이 거의 없지만. (활동 2) 단위 넓이는 어떻게 만들게 되었을까? 다음 도형 중 단위 넓이로 가장 적당한 도형을 찾아보고 단위 넓이가 될 수 있는 조건을 찾아보자. 여기서 아이들은 스스로 가장 합리적인 단위 넓이의 모양을 생각해 보게 된다. 수학자들도 가장 합리적인 기준을 찾기 위해 증명과 논쟁을 반복하는 것이다. 즉 수학은 가장 합리적인 기준을 정하는 것을 원칙으로 하는 학문이기 때문에 아이들도 그 과정을 겪어보는 것이 수학의 감각을 형성하는 데 참으로 중요하다. 끝으로 재미있는 장난감이면서 교과서에도 나오는 중요한 수학 교구 중 하나가 있다. 바로 칠교다. 칠교 조각을 가지고 놀면서 자연스럽게 도형의 변형을 감각적으로 익힐 수 있다. 인터넷 등으로 찾아보면 쉽게 만들 수도 있을 뿐더러 꽤 많은 활동 방법이 제시되어 있다. 어렸을 때부터 이러한 교구를 가지고 다양한 활동을 해 보도록 하면 도형 학습에 많은 도움이 될 것이다. 〈조경희|시매쓰 개발실장〉 자료출처 : 경향닷컴